Находится общее решение гиперболического уравнения с двумя независимыми переменными. Это решение содержит две произвольные функции. Даётся физическая интерпретация полученного решения.

§ 5.1. Метод распространяющихся волн

Один из способов интегрирования дифференциальных уравнений с частными производными основывается на невырожденной замене независимых переменных. В методе характеристик в качестве новых независимых переменных используются характеристики. В результате такой замены заданное уравнение сводится к более простому виду, что в ряде случаев позволяет найти решение краевой задачи в квадратурах. Чаще всего этот метод применяется к уравнениям гиперболического типа, частным случаем которых является волновое уравнение. Метод характеристик для уравнений гиперболического типа называют ещё методом распространяющихся волн. Подробнее применение метода рассмотрим на примере однородного одномерного волнового уравнения (уравнения колебания струны):

, (5.1)

где – функция класса

Уравнение характеристик

для уравнения (5.1) будет иметь вид

и распадается на два уравнения

интегралами которых будут прямые

Вводим новые переменные

с помощью которых уравнение (5.1) приводится, как известно, к канонической форме

. (5.2)

Проинтегрируем полученное уравнение по переменной . В результате получим

где – функция только одной переменной . Теперь проинтегрируем последнее уравнение по переменной

. (5.3)

Здесь , а и – функции только одной переменной, то есть или соответственно. Таким образом, если произвольные функции и дважды дифференцируемы, то функция , определяемая выражением (5.3), будет являться решением уравнения (5.2). С другой стороны всякое решение уравнения (5.2) может быть представлено в виде (5.3) при соответствующем выборе функций и . Поэтому функция (5.3) является общим решением уравнения (5.2). Возвращаясь к прежним переменным, получаем общее решение уравнения (5.1) в виде

. (5.4)

Найдя решение в виде (5.6), мы тем самым доказали существование решения уравнения (5.1).

Рис.5.1

§ 5.2. Физический смысл решения однородного одномерного волнового уравнения

Пусть в некоторый начальный момент времени имеем , . В этом случае будет функцией одной переменной . Предположим, что струна в этот момент времени имеет форму, изображенную на рис. 5.1, а. Тогда в момент времени она займет положение, изображенное на рис. 5.1, б, а в момент времени – положение, изображённое на рис. 4.1, в. Как видим, за промежуток времени график функции смещается по оси влево на расстояние с постоянной скоростью, равной . Аналогично получим, что функция с ростом смещается по оси вправо со скоростью . Процессы, зависящие не от каждой из независимых переменных в отдельности, а от их линейной комбинации, называются волновыми. Поэтому функция называется левой (обратной) волной, а – правой (прямой) волной. Значит, общее решение уравнения (5.1) представляет собой суперпозицию двух расходящихся волн. В этом и состоит физический смысл решения однородного волнового уравнения.